Perkalian Matrks

PERKALIAN MATRIKS :

Matriks dapat dikalikan jika jumlah baris matriks A = jumlah kolom matriks B.

Penghitungan perkalian matriks:

Misalkan:

 dan 

maka 

Matriks dapat dikalikan, dengan cara tiap baris dikalikan dengan tiap kolom, lalu dijumlahkan pada baris yang sama.

Contoh perhitungan :

Suatu matrix dapat dikalikan dengan bilangan tertentu (skalar) atau dengan matrix lain, dengan syarat jumlah kolom matrix yang dikalikan sama dengan jumlah baris matrix pengalinya.

Contoh :

-     Perkalian matrix dengan Skalar

          

    

-    Perkalian matrix dengan matrix
  
    

Bila A_2x3 hanya bisa dikalikan dengan matrix yang berbaris 3, misalnya B_3x4, B_3x2, dan seterusnya.

Maka bila AxB, akan menghasilkan matrix dengan orde 2x2 atau C_2x2 yang anggo-tanya

Di mana :

C₁₁ = a₁₁ . b₁₁ + a₁₂ . b₂₁ + a₁₃ . b₃₁ = (5x6) + (2x3) + (-3x2) = 30 + 6 +(-6) = 30

C₁₂ = a₁₁ . b₁₂ + a₁₂ . b₂₂ + a₁₃ . b₃₂ = (5x2) + (2x4) + (-3x-4) = 10 + 8 + 12 = 30

C₂₁ = a₂₁ . b₁₁ + a₂₂ . b₁₂ + a₂₃ . b₃₁ = (7x6) + (4x3) + (1x2) = 42 + 12 + 2 = 56

C₂₂ = a₂₁ . b₁₂ + a₂₂ . b₂₂ + a₂₃ . b₃₂ = (7x2) + (4x4) + (1x-4) = 14 + 16 + (-4) = 26

Jadi,

Untuk mempermudah, kita lakukan dengan matrix yang lebih sederhana terlebih dahulu.

SIFAT SIFAT PERKALIAN MATRIKS  :

sifat-sifat perkalian matriks sebagai berikut.

Jika k bilangan real (skalar); A, B, dan C matriks yang dapat dikalikan; serta B dan C dapat dijumlahkan maka berlaku sifat-sifat perkalian matriks sebagai berikut.

a. Tidak komutatif, yaitu A × B = B × A.

b. Asosiatif, yaitu (A × B) × C = A × (B × C).

c. Distributif, yaitu:

1) distributif kiri: A × (B + C) = (A × B) + (A × C);

2) distributif kanan: (A + B) × C = (A × C) + (B × C).

d. Perkalian matriks-matriks persegi dengan matriks identitas I, yaitu A × I = I × A = A (ordo I sama dengan ordo matriks A).

e. Perkalian dengan matriks O, yaitu A × O = O × A = O.

f. Perkalian dengan skalar, yaitu (k A) × B = k(A × B).

Perpangkatan Matriks Persegi

Jika n adalah sebuah bilangan bulat positif dan A suatu matriks persegi, maka Aⁿ = A × A × A × ... × A (sebanyak n faktor) atau dapat juga dituliskan Aⁿ = A × A^n–1  atau An = A^n–1  × A.

CONTOH :

a.
	matrix pertama berorde 1x2 dan matrix kedua berorde 2x1, jadi hasil kalinya akan memiliki orde 1x1
b.
c.	akan menghasilkan matrix berorde  2x1 Diketahui matriks A =  dan B =  . Tentukan hasil perkalian a. matriks A dikali dari kiri oleh matriks B; b. matriks A dikali dari kanan oleh matriks B. Pembahasan : a. Matriks A dikalikan dari kiri oleh matriks B, berarti : B x A =  b. Matriks A dikalikan dari kanan oleh matriks B, berarti : A x B =  Tampak dari hasil di atas bahwa A × B ≠ B × A, artinya perkalian matriks tidak bersifat komutatif.
d.
	Diketahui matriks-matriks : A =   Tentukan: a. A2 b. A3 Jawab a. A2 = A x A                                                 b. A3 = A x A x A