Pages

Diberdayakan oleh Blogger.

Kamis, 05 Juni 2014

Determinan Matriks

Determinan Matriks:


Syarat suatu matriks dapat dicari determinannya adalah matriks tersebut harus merupakan matriks persegi

a. Determinan Matriks Ordo 2 × 2

Misalkan A =  adalah matriks yang berordo 2 × 2 dengan elemen a dan d terletak pada diagonal utama pertama, sedangkan b dan c terletak pada diagonal kedua. Determinan matriks A dinotasikan ”det A” atau |A| adalah suatu bilangan yang diperoleh dengan mengurangi hasil kali elemen-elemen pada diagonal utama dengan hasil kali elemen-elemen diagonal kedua.

Dengan demikian, dapat diperoleh rumus det A sebagai berikut.

det A =  = ad – bc

Contoh Soal 1 :

Tentukan determinan matriks-matriks berikut.

a. A =  b. B = 

Penyelesaian :
a. det A =  = (5 × 3) – (2 × 4) = 7

b. det B =  = ((–4) × 2) – (3 × (–1)) = – 5


b. Determinan Matriks Ordo 3 × 3 (Pengayaan)

Jika A = Matriks Ordo 3 Γ— 3 adalah matriks persegi berordo 3 × 3, determinan A dinyatakan dengan det A = Matriks Ordo 3 Γ— 3

Ada 2 cara yang dapat digunakan untuk menentukan determinan matriks berordo 3 × 3, yaitu aturan Sarrus dan metode minor-kofaktor.

Aturan Sarrus
Untuk menentukan determinan dengan aturan Sarrus, perhatikan alur berikut. Misalnya, kita akan menghitung determinan matriks A3 × 3. Gambaran perhitungannya adalah sebagai berikut.
Aturan Sarrus
Metode Minor-Kofaktor

Misalkan matriks A dituliskan dengan [aij]. Minor elemen aij yang dinotasikan dengan Mij adalah determinan setelah elemen-elemen baris ke-i dan kolom ke-j dihilangkan. Misalnya, dari matriks A3 × 3 kita hilangkan baris ke-2 kolom ke-1 sehingga :
Metode Minor-Kofaktor
Akan diperoleh M21 =  . M21 adalah minor dari elemen matriks A baris ke-2 kolom ke-1 atau M21 = minor a21. Sejalan dengan itu, kita dapat memperoleh minor yang lain, misalnya :

M13 = 

Kofaktor elemen aij, dinotasikan Kij adalah hasil kali (–1)i+j dengan minor elemen tersebut. Dengan demikian, kofaktor suatu matriks dirumuskan dengan :

Kij = (–1)i+j Mij

Dari matriks A di atas, kita peroleh misalnya kofaktor a21 dan a13 berturut-turut adalah

K21 = (–1)2+1 M21 = –M21 = 

K13 = (–1)1+3 M13 = M13 = 

Kofaktor dari matriks A3 × 3 adalah kof(A) =


Nilai dari suatu determinan merupakan hasil penjumlahan dari perkalian elemen-elemen suatu baris (atau kolom) dengan kofaktornya. Untuk menghitung determinan, kita dapat memilih dahulu sebuah baris (atau kolom) kemudian kita gunakan aturan di atas. Perhatikan cara menentukan determinan berikut.

Misalkan diketahui matriks A = Matriks Ordo 3 Γ— 3


Determinan matriks A dapat dihitung dengan cara berikut.

Kita pilih baris pertama sehingga

det A = a11 K11 + a12 K12 + a13 K13
= a11 (–1)1+1 M11 + a12 (–1)1+2 M12 + a13 (–1)1+3 M13
= a11(a22 a33 – a32 a23) – a12(a21 a33 – a31 a23) + a13(a21 a32 – a31 a22)
= a11 a22 a33 – a11 a23 a32 – a12 a21 a33 + a12 a23 a31 + a13 a21 a32 – a13 a22 a31
= a11 a22 a33 + a12 a23 a31 + a13 a21 a32 – a13 a22 a31 – a11 a23 a32 – a12 a21 a33

Tampak bahwa det A matriks ordo 3 × 3 yang diselesaikan dengan cara minor kofaktor hasilnya sama dengan det A menggunakan cara Sarrus.

Contoh Soal 2 :

Tentukan determinan dari matriks A =  dengan aturan Sarrus dan minor-kofaktor.

Penyelesaian :

Cara 1: (Aturan Sarrus)

det A = 
= (1 × 1 × 2) + (2 × 4 × 3) + (3 × 2 × 1) – (3 × 1 × 3)
– (1 × 4 × 1) – (2 × 2 × 2)
= 2 + 24 + 6 – 9 – 4 – 8
= 11

Cara 2: (Minor-kofaktor)

Misalnya kita pilih perhitungan menurut baris pertama sehingga diperoleh :

det A = 

= –2 – 2(–8) + 3(–1)
= –2 + 16 – 3 = 11

Coba kalian selidiki nilai determinan ini dengan cara lain. Apakah hasilnya sama?

c. Sifat-Sifat Determinan Matriks

Berikut disajikan beberapa sifat determinan matriks

1. Jika semua elemen dari salah satu baris/kolom sama dengan nol maka determinan matriks itu nol.

Misal  : 

2. Jika semua elemen dari salah satu baris/kolom sama dengan elemen-elemen baris/kolom lain maka determinan matriks itu nol.

Misal B =  (Karena elemen-elemen baris ke-1 dan ke-3 sama).

3. Jika elemen-elemen salah satu baris/kolom merupakan kelipatan dari elemen-elemen baris/kolom lain maka determinan matriks itu nol.

Misal A =  (Karena elemen-elemen baris ke-3 sama dengan kelipatan elemen-elemen baris ke-1).
4. |AB| = |A| ×|B|
5. |AT| = |A|, untuk AT adalah transpose dari matriks A.
6. |A–1| =  , untuk A–1 adalah invers dari matriks A. (Materi invers akan kalian pelajari pada subbab berikutnya).
7. |kA| = kn |A|, untuk A ordo n × n dan k suatu konstanta. Sifat-sifat di atas tidak dibuktikan di sini. Pembuktian sifat-sifat ini akan kalian pelajari di jenjang yang lebih tinggi.


36 komentar:

  1. Sulittt juga yakk mengerti..,,

    BalasHapus
  2. Jika A = [1 2 ] B = [2 3 ]
    [3 4 ] [3 5 ] maka Determinan A4xB3 ?

    BalasHapus
    Balasan
    1. Tidak berlaku gan, karena ordo matriks A1x2 matriks B1x2.

      Trmkash

      Hapus
  3. Terimakasih kak. Sangat membantu!

    BalasHapus
  4. Terimakasih kak. Sangat membantu!

    BalasHapus
  5. Komentar ini telah dihapus oleh pengarang.

    BalasHapus
  6. Bagaimana kalo matriksnya 4x4 dengan menggunakan metode Kofaktor??
    Mohon di jelaskan..

    BalasHapus
  7. keren dan sangat membantu terima kasih !!!

    BalasHapus
  8. tolong dijelaskan lebih rincih mba

    BalasHapus
  9. Saya lebih mengerti cara kedua, thanks ..
    from :Alvin Cay

    BalasHapus
  10. Maaf M13 salah kak bukan a12 tpi a22

    BalasHapus
  11. Kij = (–1)i+j Mij

    -1 nya darimana?

    BalasHapus
  12. mau tanya ordo 4x4 bisa pake sarus doang ga yah kalo biasanya kan pake sarus dan kofaktor

    BalasHapus
  13. materi kuliah semester satu cfa yg ada bagi yoh

    BalasHapus
  14. thanks artikelnya, sangat membantu dan mudah di pahami......

    BalasHapus
  15. KAK IZIN COPY MATERINYA YA..

    BalasHapus
  16. Mw tanya itu yang contoh soal minor kofaktor , pada kolom ke 2 baris 1 kenpa -2??
    Mohon penecrahan nya

    BalasHapus
    Balasan
    1. Konsep nya klo yang genap jd negatif... Misalkan kita ambil yang klom 2, 4, 6... Dan klo yang baris 2, 4, 6..

      Hapus
  17. makasih yaa kak,,, cukup membantu.

    BalasHapus
  18. pakai Aturan Sarrus ajalah,
    biar cepar.
    aturan sarrus irit tenaga dan hemat waktu.

    BalasHapus
  19. trima ksih kaka..😊😊

    BalasHapus
  20. Kalo ky gini gmna?B= (4x -2x)
    (3 7)

    BalasHapus
  21. Jelaskan Pengertian dan contoh determinan matriks?

    BalasHapus
  22. terima kasih atas ilmunya dan jangan lupa kunjungi ppns.ac.id dan candukumusik.wordpress.com

    BalasHapus
  23. terimakasih atas ilmunya . kungjungin website https://ppns.ac.id/ dan https://ilhamakbarariansyah.wordpress.com/

    BalasHapus