Persamaan Matriks

PERSAMAAN MATRIKS

Persamaan Matriks Bentuk AX = B dan XA = B

Misalkan A, B, dan X adalah matriks-matriks berordo 2 × 2, dengan matriks A dan B sudah diketahui elemennya, sedangkan matriks X belum diketahui elemen-elemennya. Matriks X dapat ditentukan jika A mempunyai invers (matriks nonsingular). Untuk menyelesaikan persamaan matriks berbentuk AX = B dapat dilakukan dengan langkah berikut.

AX = B

↔ A^–1(AX) = A^–1B

↔ (A^–1A)X = A^–1B

↔ IX = A^–1B

↔ X = A^–1B

Dari persamaan terakhir tampak bahwa kedua ruas dikalikan dari kiri oleh A^–1 sehingga diperoleh bentuk penyelesaian X = A^–1B. Untuk menyelesaikan persamaan matriks berbentuk XA = B dapat ditentukan dengan cara mengalikan kedua ruas dari kanan dengan A^–1 sehingga diperoleh penyelesaian X = BA^–1 seperti berikut.

XA = B

↔ (XA)A^–1 = BA^–1

↔ X(AA^–1) = BA^–1

↔ XI = BA^–1

↔ X = BA^–1

Oleh karena itu, diperoleh penyelesaian X = BA^–1. Dengan demikian, dapat disimpulkan sebagai berikut.

Penyelesaian persamaan matriks AX = B adalah X = A^–1B.

Penyelesaian persamaan matriks XA = B adalah X = BA^–1.

Untuk lebih jelasnya, perhatikan contoh berikut.

Contoh Soal 22 :

Diketahui A =  dan B =  .

Tentukan matriks X yang memenuhi

a. AX = B;

b. XA = B.

Jawaban:

Karena det A = 16 – 15 = 1 ↔ 0 maka matriks A mempunyai invers.

Jika dicari inversnya, kalian akan memperoleh A^–1 = 

(Coba kalian tunjukkan).

Dengan demikian, dapat kita tentukan sebagai berikut.

a. AX = B ↔ X = A^–1B = 

b. XA = B ↔ X = BA^–1 =