Invers Matriks

Kamis, 05 Juni 2014

Invers Matriks

INVERS MATRIKS:

Jika A dan B adalah matriks persegi, dan berlaku $A \cdot B = B \cdot A = I$ maka dikatakan matriks A dan B saling invers. B disebut invers dari A, atau ditulis $A^{-1}$ . Matriks yang mempunyai invers disebut invertible atau matriks non singular, sedangkan matriks yang tidak mempunyai invers disebut matriks singular.

Untuk mencari invers matriks persegi berordo 2×2, coba perhatikan berikut ini.
Jika $A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}$ dengan $ad - bc \neq 0$ , maka invers dari matriks A (ditulis $A^{-1}$ ) adalah sebagai berikut:

$A^{-1} = \frac {1}{ad - bc} \begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \end{bmatrix}$

Jika $ad - bc = 0$ maka matriks tersebut tidak mempunyai invers, atau disebut matriks singular.

Sifat-sifat matriks persegi yang mempunyai invers:

$(A \cdot B)^{-1} = B^{-1} \cdot A^{-1}$
$(B \cdot A)^{-1} = A^{-1} \cdot B^{-1}$
$(A^{-1})^t =(A^{t})^{-1}$

Contoh: Diketahui A = $\begin{bmatrix} 2 & 1\\ 3 & 2 \end{bmatrix}$ dan B = $\begin{bmatrix} 2 & -1\\ -3 & 2 \end{bmatrix}$

Selidiki, apakah A dan B saling invers?

Penyelesaian :

Matriks A dan B saling invers jika berlaku A × B = B × A = I.

A × B = $\begin{bmatrix} 2 & 1\\ 3 & 2 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 2 & -1\\ -3 & 2 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{bmatrix}=I$

B × A = $\begin{bmatrix} 2 & -1\\ -3 & 2 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 2 & 1\\ 3 & 2 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{bmatrix}=I$

Karena A × B = B × A maka A dan B saling invers, dengan A^–1 = B dan B^–1 = A.

Menentukan Invers Matriks Berordo 2 × 2

Misalkan diketahui matriks A = $\begin{bmatrix} a & b\\ c & d \end{bmatrix}$ , dengan ad – bc ≠ 0.

Suatu matriks lain, misalnya B dikatakan sebagai invers matriks A jika AB = I. Matriks invers dari A ditulis A^–1 . Dengan demikian, berlaku :

AA^–1 = A^–1A = I

Matriks A mempunyai invers jika A adalah matriks nonsingular, yaitu det A ≠ 0. Sebaliknya, jika A matriks singular (det A = 0) maka matriks ini tidak memiliki invers.

Misalkan matriks A = $\begin{bmatrix} a & b\\ c & d \end{bmatrix}$ dan matriks B = $\begin{bmatrix} p & q\\ r & s \end{bmatrix}$ sehingga berlaku A × B = B × A = I. Kita akan mencari elemen-elemen matriks B, yaitu p, q, r, dan s.

Dari persamaan A × B = I, diperoleh :

$\begin{bmatrix} a & b\\ c & d \end{bmatrix}\begin{bmatrix} p & q\\ r & s \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{bmatrix}$
$\begin{bmatrix} ap+br & aq+bs\\ cp+dr & cq+ds \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{bmatrix}$

Jadi, diperoleh sistem persamaan :

ap + br = 1 dan aq + bs = 0

cp + dr = 0 cq + ds = 1

Dengan menyelesaikan sistem persamaan tersebut, kalian peroleh :

$p=\frac{d}{ad-bc},\: r=\frac{-c}{ad-bc},\: q=\frac{-b}{ad-bc},\: dan\: s=\frac{a}{ad-bc}$

Dengan demikian,

Matriks B memenuhi A × B = I.

Sekarang, akan kita buktikan apakah matriks B × A = I?

Karena ad – bc ≠ 0, berlaku B × A = $\begin{bmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{bmatrix}$ = I

Karena A × B = B × A = I maka B = A^–1.

Jadi, jika A = $\begin{bmatrix} a & b\\ c & d \end{bmatrix}$ maka inversnya adalah :

$A^{-1}=\frac{1}{ad-bc}\begin{bmatrix} d & -b\\ -c & a \end{bmatrix}$

untuk ad – bc ≠ 0.

Contoh Soal 18 :

Tentukan invers matriks-matriks berikut.

a. A = $\begin{bmatrix} 4 & 1\\ 7 & 2 \end{bmatrix}$

b. B = $\begin{bmatrix} 3 & -2\\ 5 & -4 \end{bmatrix}$

Jawaban:

Menentukan Invers Matriks Berordo 3 × 3 (Pengayaan)

Invers matriks berordo 3 × 3 dapat dicari dengan beberapa cara. Pada pembahasan kali ini kita akan menggunakan cara adjoin dan transformasi baris elementer.

a. Dengan Adjoin

Pada subbab sebelumnya, telah dijelaskan mengenai determinan matriks. Selanjutnya, adjoin A dinotasikan adj (A), yaitu transpose dari matriks yang elemen-elemennya merupakan kofaktor-kofaktor dari elemen-elemen matriks A, yaitu :

adj(A) = (kof(A))^T

Adjoin A dirumuskan sebagai berikut.

Invers matriks persegi berordo 3 × 3 dirumuskan sebagai berikut.

$A^{-1}=\frac{1}{det\: A}adj\left ( A \right )$

Adapun bukti tentang rumus ini akan kalian pelajari lebih mendalam dijenjang pendidikan yang lebih tinggi.

Contoh Soal 19 :

Diketahui matriks A = $\begin{bmatrix} 1 & 2&1\\ 2 & 3&4\\ 1 & 2&3 \end{bmatrix}$ . Tentukan invers matriks A, misalnya kita gunakan perhitungan menurut baris pertama.

Jawaban :

Terlebih dahulu kita hitung determinan A.

det A = $det\: A=1\begin{vmatrix} 3 & 4\\ 2 & 3 \end{vmatrix}-2\begin{vmatrix} 2 & 4\\ 1 & 3 \end{vmatrix}+1\begin{vmatrix} 2 & 3\\ 1 & 2 \end{vmatrix}$